Die Formel

Man betrachtet die Folge der Zahlen der z₁, z₂, z₃, ..., die sich nach der Formel

    z_n+1 = z_n² + c

mit z₁ = 0 ergibt und untersucht ihr Schicksal, für verschieden Werte von c. Dabei beobachtet man 4 verschiedene Verhaltenweisen der Zahlenfolge:

Bezug zur Chaostheorie

Das Verhalten Nr. 3 stellt den Bezug zur Chaostheorie her. Die Formel ist das einfachste mathematische System, das chaotisches Verhalten liefern kann. Dabei zeigt sich übrigens, dass der Übergang von geordnetem Verhalten (Konvergenz, Nr.1) zu chaotischem bei entsprechender Veränderung von c stets über eine Phase mit periodischen Grenzzyklen (sog. Periodenverdopplung, Nr.2) führt.

In der Natur

Genau dieses Verhalten wird auch in der Natur beobachtet. Ein Beispiel ist der tropfender Wasserhahn, wobei die Zahlenfolge z_n den Zeitabständen der aufeinanderfolgender Tropfen entspricht und die Konstante c der Stellung des Wasserhahnes. Bei fast geschlossenem Hahn ergeben sich gleiche Zeitabstände (Verhalten Nr. 1), bei stärker geöffnetem chaotisches Tropfen (Verhalten Nr. 3). Bei einer bestimmten Hahnstellung dazwischen kann man Tropfen mit abwechselnd 2 verschiedenen Zeitabständen beobachten.

In der Medizin

Diese Erkenntnis wird sogar in der Medizin ausgenutzt. Ein Gesundes Herz schlägt eher regelmäßig (Verhalten Nr. 1), während eines Infarktes aber chaotisch. Findet man im EKG von Infarktpatienten gehäuft Muster entsprechend dem Verhalten Nr. 2, so besteht höchste Gefahr für einen weiteren Infarkt.

Die Bilder

Wie macht man nun mit dieser Formel Bilder? Dazu lässt man für die z_n und für c komplexe Zahlen zu, d. h. Zahlen, die aus einen Realteil und einem Imaginärteil bestehen. c hat dann den Wert

    c = x + i y,

wobei i die imaginäre Einheit, d. h. die Wurzel aus –1, ist, während x und y gewöhnliche Zahlen sind. Die Bilder entstehen nun, indem man des Verhalten der Folge für verschiedene c-Werte in der x-y-Ebene farbig markiert. Bleibt die Folge beschränkt (Verhalten Nr. 1 bis 3), so markiert man die entsprechende Stelle schwarz. Dabei ergibt sich die Form der Apfelmännchens. c-Werte im Inneren des "Apfels" liefern Konvergenz (Verhalten Nr. 1). Im "Kopf" ergibt sich ein Grenzzyklus aus 2 Zahlen und andere schwarze Kreise entsprechen Grenzzyklen mit höherer Perioden (Verhalten Nr. 2). Auf der "Antenne" am Kopf und in den filigranen Gebieten am Rand des schwarzen Bereichs herrscht das Chaos (Verhalten Nr. 3). Dort wo die Folge divergiert (Verhalten Nr. 4), setzt man einen farbigen Punkt, wobei die Farbe der Geschwindigkeit der Divergenz entspricht. Die Zuordnung von Divergenzgrad zur Farbe bleibt der künstlerischen Freiheit des Programmierers überlassen. Zusammen mit der Wahl des (i. A. mikroskopischen) Bildausschnittes ist das die einzige Freiheit, die man hat. Alles andere determiniert die Mathematik.